En el mundo del sonido y la electrónica, nos encontramos con diversas formas de onda que juegan roles cruciales. Una de ellas es la función diente de sierra, una señal periódica cuyo nombre describe su forma característica. Este artículo explorará en detalle esta función, su fórmula, y cómo se aplica tanto en el análisis de señales de audio como en la generación de señales para pruebas electrónicas.
¿Qué es una Función Diente de Sierra?
Una función diente de sierra es una forma de onda no sinusoidal. Se caracteriza por un ascenso lineal seguido de una caída abrupta, repitiéndose este patrón de forma periódica. Esta forma de onda es rica en armónicos, lo que la hace útil en diversas aplicaciones.
Al igual que pasa con la música, son pocos los que en el mundo del sonido tienen conocimientos teóricos profundos de lo que se traen entre manos debido a que gran número de personas se aficionan sin pretensiones profesionales. En mi carrera al frente de una mesa de mezcla he podido trabajar con todo tipo de músicos. Algunos tenían más conocimientos "teóricos reglados" que otros y siempre he opinado que lo que prevalece ante todo es el talento.
A veces ni los propios músicos son conscientes de que van adquiriendo poco a poco conocimientos teóricos musicales, ya que se dan con ellos de frente a medida que van sumando experiencia. Por ejemplo, con un grupo con los que he trabajado en varios discos casi desde que empezaban a tocar he podido comprobar que con el paso de los años han ido desarrollando un lenguaje musical propio que tan solo ellos entienden y que describe muchas cosas que podríamos encontrar en libros sobre teoría musical. Los que se dedican a la música flamenca creo que son el máximo exponente de lo que os quiero decir.
En el mundo del sonido pasa un poco como con la música. A nadie le importa si el responsable de una grabación tiene más o menos conocimientos teóricos, sólo importa el resultado, pero, en mayor medida de lo que sucede en la música, los que habitamos los estudios de grabación nos damos de bruces con cuestiones teóricas casi desde el primer momento. Quien más y quien menos llega un a un punto en el que se ve en la necesidad de adquirir ciertos conocimientos para poder avanzar por muy básicos que estos sean. Yo siempre he pensado que el conocimiento teórico es un factor que potencia los conocimientos adquiridos con la experiencia.
Algunas veces incluso llega a ser el primer paso con el que explorar nuevos caminos que nos llevarán a nuevas experiencias, llegando incluso a olvidar totalmente, por el hecho de tenerlos tan arraigados, que en su momento tuvimos que estudiar algunos conceptos básicos.
Análisis de Fourier y la Función Diente de Sierra
Las funciones periódicas, como la diente de sierra, pueden ser descompuestas en una suma de funciones sinusoidales mediante el análisis de Fourier. Esta descomposición revela las componentes de frecuencia que componen la señal original.
Representa una tarea formidable la síntesis de la función periódica y obtener los coeficientes ai y bi, denominados coeficientes de Fourier.
En una función cuya simetría es par o impar, aparecen coeficientes ai y bi. Periodo, 1.0.
En la figura se observan, a la izquierda, pulsos periódicos, y a la derecha en color rojo los coeficientes bi.
Aplicaciones en el Audio
En el ámbito del audio, la función diente de sierra se utiliza en sintetizadores para crear sonidos ricos y complejos. La presencia de múltiples armónicos permite generar timbres únicos y variados.
Por un lado, toman más soltura y rapidez (lo que conlleva a un aumento de la productividad musical) y por otra le permite usar un lenguaje con el que transmitir cosas complejas que de otra forma sería imposible hacer entender.
TRUCO: Cómo hacer MORPHING con un solo potenciómetro en un sinte analógico
Generador de Diente de Sierra
Muchas veces experimentamos con circuitos que no justifican el empleo de instrumental de elevado coste que permita visualizar la respuesta en frecuencia de un dispositivo dado, en tal caso puede utilizarse un osciloscopio y un generador de funciones que pueda modularse en frecuencia con un diente de sierra. Si ese mismo diente de sierra es utilizado como base de tiempo externa del osciloscopio en tal caso es posible visualizar la respuesta en frecuencia del dispositivo que se quiere ensayar.
Este mecanismo se conoce habitualmente como conversión del eje de tiempo en eje de frecuencia.
Mi esquema en bloques básico de un generador diente de sierra (DS de ahora en más) viene dado en la Figura 1 y es muy sencillo en apariencia, luego veremos que no lo es tanto.
Una rampa se genera como consecuencia de la carga del condensador C, cosa que podría realizarse con una resistencia conectada a una fuente de corriente continua. Lo destacable de toda esta explicación es que el DS obtenible de este sistema excursionará entre Vcc/3 y 2Vcc/3, así por ejemplo si la fuente de alimentación fuese de 15 V el diente de sierra comenzaría en 5 V y terminaría en 10 V, siempre que el diseño estuviere bien hecho.
Para el diseño del generador de DS partiremos directamente de la hoja de datos del integrado NE555 de ST, Doc ID 2182 Rev 6, donde en la página 12 propone la configuración básica de un generador de rampa, Fig. 19 de dicho documento.
Un buffer no es otra cosa que un simple amplificador con ganancia unitaria de elevada impedancia de entrada.
Hasta ahora todo ha sido simple y descriptivo, el trabajo comienza con el diseño del generador de corriente constante. El tema se las trae, hay que “llenar” con números los benévolos y tolerantes símbolos de la Figura 2 que algunos ponen al voleo obteniendo resultados sorprendentemente curiosos.
El circuito de la Figura 3 representa el esquema del generador de corriente constante donde el divisor de tensión formado por las resistencias R1 y R2 fija la tensión de polarización de base del transistor Q2 que será PNP. En este tipo de transistores de considerable ganancia se puede aproximar haciendo IE ≈ IC; de esta forma la corriente constante IC carga al condensador C y V0 crece de forma lineal.
La tensión de salida V0 mantendrá un crecimiento lineal siempre que el transistor Q2 se mantenga en la zona activa, es decir siempre que la tensión VCE sea suficiente. Si bien las especificaciones del transistor elegido BC558 presentan una VCEsat(mx) de unos 300 mV, la característica IC=f (VCE) para corrientes de colector por debajo de los 5 mA presenta todavía una apreciable curvatura de manera que convendrá actuar conservativamente para proteger la linealidad del DS; por ello VCE nunca debería caer por debajo de los 2 V en las peores condiciones que se producen cuando la tensión V0 sobre el condensador C alcanza su máximo que, como se dijo más arriba, vale V0(mx)=2VCC/3.
Del análisis anterior surge que la tensión VE es constante, habida cuenta de que la corriente IE que circula por RE también lo es. El paso siguiente sería fijar los condicionantes de seguridad para el buen funcionamiento del generador. Habíamos dicho más arriba que en base a nuestro factor de seguridad debe ser VCE(mín) ≥ 2 V, que será el valor que adoptaremos. Por otra parte, para asegurar la constancia de la corriente IE ≈ IC del transistor Q2 y que no se vea afectada por las fluctuaciones de VBE es necesario que la tensión sobre la resistencia RE, VE, sea bastante mayor que VBE con un factor de seguridad que me he fijado próximo a 4 veces, es decir VE=4VBE. Un factor 4 nos parece aceptable y partiendo de una VBE de 0.6 ó 0.7, redondearemos el valor en VE=3 V.
En estas condiciones la excursión máxima vendrá dada por la siguiente Ec. Estamos ahora en condiciones de determinar la corriente de carga I necesaria despejando de la (4). La tensión sobre R1, Figura 3, vale V1=VE+VBE2 = [3+0,7] V=3,7 V. Ahora será necesario adoptar un valor para la corriente por el divisor R1, R2 que llamaremos I1; en general se consigue una buena estabilidad “clavando” el punto de polarización de base de manera que no se vea afectado de forma apreciable por las variaciones de la corriente de base del transistor.
Un valor de I1 ≈ 10IB sería suficiente; en el caso del transistor adoptado, el BC558, cuya hFE >100 con una corriente de colector de I=0,5 mA, la corriente de base puede estimarse en IB ≈ 5 uA. Con este factor 10 la resistencia del divisor resulta algo elevada; un factor del orden de 20, además de brindar mayor fiabilidad aún, llevará a valores óhmicos más razonables del divisor.
La linealidad no deja dudas, al menos en esta fase del diseño, será el osciloscopio el que tendrá la última palabra. La duración del diente de sierra en el análisis transitorio resultó de 10,4 ms como se observa, levemente mayor que la nominal (10 ms), habida cuenta de que la corriente de colector en el análisis transitorio resultó también algo menor: I = 495,7 uA, en lugar de los 500 uA estipulados, esto se debe a que hemos adoptado en el cálculo VBE = 0,7 V pero para corrientes tan reducidas como las que utilizamos aquí puede que sea algo mayor.
En el circuito final se ha intercalado un potenciómetro de ajuste mini entre las resistencias R1 y R2 del divisor como se muestra en “detalle de la mejora para el ajuste fino” de la Figura 3, habiéndose adoptado valores comerciales para ambas resistencias, quedando los siguientes valores definitivos R1=39 kΩ, R2=120 kΩ, el potenciómetro vale P1=10 kΩ.
En la Figura 5, en “top view”, se puede apreciar el diseño de la placa definitiva con la identificación de los componentes, un obsequio para el lector que el autor no ha llegado a utilizar. La placa prototipo ensamblada utilizada en las mediciones fue modificada sobre la marcha y la exhibo en la Figura 6; sirvió de inspiración para el rediseño de la placa definitiva de la Figura 5; el “potenciómetro de ajuste mini” está instalado (de acuerdo con la mejora detallada en la Figura 3) en una ubicación algo forzada usurpando el espacio del divisor de tensión original, hecho que me obligó a colocar, en este prototipo, las resistencias R1 y R2 asociadas al divisor en la parte posterior de esta placa de prueba, una ausencia notoria en la imagen.
También es de notar en la Figura 5 que he dejado espacio para dos condensadores opcionales C1b y C1c, podrían ser más, y que pueden conectarse a un conmutador que los conmute a tierra para que operen en paralelo con C, uno a uno, e incrementar así la capacidad total “C” a pasos, esto en caso de requerir un diente de sierra de mayor duración.
Llegó la hora de la verdad, Figura 9; en la imagen congelada de la pantalla del osciloscopio digital el DS presentó una impecable linealidad, tal como ya nos anticipara la simulación, con un retroceso de muy corta duración. En la columna derecha del display, “medidas”, pueden leerse los valores de amplitud y el período que fuera ajustado previamente con P1 y que no dejan ninguna duda, también puede leerse la frecuencia de repetición real fDS real, además se observa que la tensión pico a pico de la onda se sitúa en los 5 V, un tercio de Vcc tal como estaba previsto.
La tolerancia de los componentes conducen a pequeñas diferencias entre los valores calculados y los reales cuando el equipo está en funcionamiento, estas diferencias se subsanan ajustando el potenciómetro de 10 kΩ que permite corregir estos apartamientos de los valores teóricos. La precisión del ajuste es evidente como muestra la imagen congelada de la Figura 9; en este caso el cursor de P1 ha quedado situado a medio recorrido aproximadamente.
En resumen, la función diente de sierra es una herramienta valiosa tanto en el mundo del sonido como en la electrónica, ofreciendo una amplia gama de aplicaciones gracias a su rica composición armónica y su facilidad de generación.